快速查題-中學(xué)教師資格證試題

（一）課題導(dǎo)入

前面幾節(jié)課，我們一起研究學(xué)習(xí)了兩直線的平行或垂直的充要條件、兩直線的夾角公式、兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題，逐步熟悉了利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的思想方法。這一節(jié)，我們將研究怎樣由點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程直接求點(diǎn)P到直線的距離。

（二）講授新課

在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知某點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，直線的方程是，怎樣用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程直接求點(diǎn)P到直線的距離呢？

下面，我們一起分析這一問(wèn)題的解決方案。首先看圖1某校（點(diǎn)A）要從網(wǎng)絡(luò)干線引進(jìn)一條支線通進(jìn)本校，在干線上選擇哪一點(diǎn)最好？

過(guò)A作AP⊥P，則P是最佳選擇。

生活中類似問(wèn)題很多，“垂線段最短”，就是求點(diǎn)到直線的距離，初中是用的幾何辦法，今天我們?cè)诮馕鰩缀沃羞x用什么辦法呢？代數(shù)辦法解決幾何問(wèn)題。先看一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，圖，點(diǎn)P（1，3）到直線的距離是 ，到直線的距離是？學(xué)生很輕松地答對(duì)了。

師生反思：對(duì)一般問(wèn)題呢？從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的普遍策略，我們看任一點(diǎn)P（x0，y0）到直線x=a的距離是，到直線y=b的距離是？ 點(diǎn)P（x0，y0）到直線x=a的距離是|x0—a|，到直線y=b的距離是|y0—b|。

別忘記絕對(duì)值符號(hào)，距離是個(gè)非負(fù)數(shù)！數(shù)形結(jié)合的話距離就是“橫線段、縱線段”。（老師演示）現(xiàn)在我們看更一般的問(wèn)題，即：點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離是什么呢？這比以前兩個(gè)問(wèn)題更富有挑戰(zhàn)性，大家思考怎么辦？過(guò)P作垂直于的直線，求出該直線與的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求出PQ的長(zhǎng)。

此方法雖然思路自然、易想，但是大家看，方程全部是字母，求這點(diǎn)的坐標(biāo)必然運(yùn)算繁瑣，更何況還要求PQ的長(zhǎng)！我們應(yīng)探討出另一種方法來(lái)，巧妙轉(zhuǎn)化難點(diǎn)。

先求出MP、NP的長(zhǎng)，在RtΔPMN中，作斜邊上的高PQ，利用等面積法求得PQ的長(zhǎng)即可?？磮D（教師演示）M、N點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為 ，那么MP= ，NP= 。

。。。。。。。

于是得點(diǎn)P(x0，y0)到直線的距離公式

師生反思：可以證明當(dāng)A=0或B=0時(shí)，以上公式仍適用，于是我們得到平面內(nèi)任一點(diǎn)到任一條直線的距離公式！大家看一下它的結(jié)構(gòu)特征分子是什么？分母是什么？這就要求我們應(yīng)用公式時(shí)，必須先將方程化成一般式！這個(gè)公式體現(xiàn)著和諧美、對(duì)稱美。但是如果直線是平行于x軸或y軸的直線時(shí)，我們一般是不用公式更簡(jiǎn)單?。槭裁茨?？）

[師]同學(xué)們我們以上給出了兩種推導(dǎo)方法，第一種解析法易想不易算不可行，第二種等面積法看似麻煩卻簡(jiǎn)單易算易行！這就啟示我們對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題必須勤動(dòng)手，切不可僅僅停留在想想而已！下面大家討論一下這個(gè)公式還有別的證明方法嗎？

[生]我們小組認(rèn)為根據(jù)“垂線段最短”在直線上任取一點(diǎn)R（ ），則|PR| 的長(zhǎng)度最小值就是點(diǎn)到直線的距離，即|PR|=但是運(yùn)算也比較繁！還得化簡(jiǎn)，再配方才可以！

[師]的確這位同學(xué)思路新穎，用函數(shù)最小值的思想求距離，能夠想到應(yīng)用我們所學(xué)的知識(shí)來(lái)證明，這樣非常好！給予鼓勵(lì)！大家有興趣課下繼續(xù)把后面的證明完成！同學(xué)們對(duì)于這個(gè)公式的推導(dǎo)我們還可以應(yīng)用以前學(xué)過(guò)的向量知識(shí)得到!下面大家看多媒體，我給出了具體證明過(guò)程如下，以供開(kāi)闊思路(具體過(guò)程略)。